Intégrale de Riemann

Définition

Introduction

Considérons une parabole, plus spécifiquement la parabole d'équation y=1x2y=1-x^2, et posons la question naturelle, géométrique suivante. Comment calculer l'aire sous cette courbe ? À savoir la surface sous la parabole mais au dessus de l'axe des xx (zone hachurée).

Riemann

Le premier à avoir rigoureusement répondu à ce type de questions fut Archimède qui, il y a bien longtemps (environ 300 ans avant notre ère), a démontré que, dans ce cas-là, l'aire est exactement égale à 43\frac{4}{3}.

Sa méthode (qui ne sera pas détaillée ici) est appelée "méthode d'exhaustion" et consiste à remplir de triangles la région dont on souhaite calculer l'aire. On commence par un grand triangle.

Riemann

Puis deux plus petits triangles.

Riemann

Et quatre triangles encore plus petits.

Riemann

Et ainsi de suite... De manière à exprimer l'aire de cette région sous la forme d'une série géométrique qu'Archimède savait calculer et dont la somme vaut exactement 43\frac{4}{3}.

Objectif

L'objectif de ce cours n'est pas d'étudier la méthode d'Archimède mais une technique bien plus générale, bien plus récente, qui est due à Riemann et ses contemporains. Cette technique consiste à commencer par approximer de manière grossière l'aire sous la courbe grâce à celle d'une somme de rectangles.

Définition

Nous commençons par considérer une fonction ff quelconque, à valeurs réelles (c'est-à-dire pas forcément positives, même si elles le seront toujours sur les dessins que nous ferons). De plus, pour des raisons qui paraîtront claires dans un instant, nous ne considérerons que des fonctions continues (bien que nous verrons qu'elles peuvent éventuellement êtres "continues par morceaux", c'est-à-dire continues sur des intervalles donnés).

Soit f:[a;b]R, continue.\text{Soit } f : [a;b]\rightarrow \R, \text{ continue.}

Il faut donc imaginer une fonction qui ressemble à peu près à ceci.

Riemann

Note

Même si la fonction représentée ici est positive, afin de faciliter l'interprétation géométrique de ce que nous allons faire, il faut s'imaginer que tout est aussi bien valable pour une fonction qui prendrait des valeurs négatives.

Nous allons à présent faire trois choses.

  1. Nous commençons par choisir une partition de l'intervalle [a;b][a;b]. Qu'est-ce qu'une partition d'un intervalle ? C'est simplement une façon de le subdiviser en une union d'intervalle plus petits. Pour ce faire, il faut choisir un premier point x0x_0 qui est égal à aa, puis un second, le point x1x_1 qui est un peu plus grand, puis un point x2x_2 encore un peu plus grand, x3x_3 encore plus grand et ainsi de suite un point xk1x_{k-1}, xkx_k, jusqu'à xn1x_{n-1}, et enfin xnx_n qui est égal à bb.

    a=x0<x1<x2<x3<...<xk1<xk<...<xn1<xn=ba = x_0 < x_1 < x_2 < x_3 < ...<x_{k-1}<x_k<...<x_{n-1}<x_n=b

    Concrètement, sur notre dessin, cela revient à faire la chose suivante.

    Riemann

    En fait, il s'agit d'une décomposition de l'intervalle [a;b][a;b] en sous-intervalles qui ne sont pas forcément tous de mêmes tailles, mais qui donnent une partition de l'intervalle [a;b][a;b]. Une fois cette partition obtenue, elle permet de diviser l'aire sous la courbe, dans le cas où la fonction est positive comme sur notre dessin, en une union de choses qui ressemblent un peu à des rectangles.

    Riemann

  2. Maintenant que nous avons obtenu cette partition, nous allons étudier chaque intervalle qu'elle définit. Nous noterons ces intervalles IkI_k. Elles correspondent à l'intervalle fermé qui va de xk1x_{k-1} jusqu'à xkx_k.

    Ik=[xk1;xk],1knI_k = [x_{k-1};x_k], 1\leqslant k \leqslant n

    Dans chacun de ces intervalles, nous choisissons un élément xkIkx^*_k\in I_k. Sur notre dessin, nous voyons donc que nous avons un x1x_1^* entre x0x_0 et x1x_1, un x2x_2^* entre x1x_1 et x2x_2, un x3x_3^* entre x2x_2 et x3x_3, et ainsi de suite jusqu'à xnx_n^* entre xn1x_{n-1} et xnx_n.

    Riemann

  3. Finalement, nous prenons ces points xkx_k^* afin d'évaluer la valeur de la fonction ff en chacun de ces points, à savoir f(xk)f(x^*_k) avec k={1;2;3;...;n}k = \{1;2;3;...;n\}. Si nous revenons à notre dessin, cela signifie que nous regardons la hauteur du graphe de la fonction au-dessus des points xkx_k^*.

    Riemann

    Maintenant que nous avons cette partition, ce choix particulier de points xkx_k^* et les valeurs de la fonction en chacun de ces points, on définit ce que nous appelons la somme de Riemann associée (associées car elle dépend de tous les choix que nous avons effectués jusqu'à présent).

Définition de la somme de Riemann associée

Pour définir cette somme, nous sommons pour kk allant de 11 jusqu'à nn, la valeur de la fonction au point xkx_k^* multiplié par la taille de l'intervalle IkI_{k}, à savoir la différence xkxk1x_k-x_{k-1}.

k=1nf(xk)(xkxk1)(1)\tag{1} \boxed{ \sum_{k=1}^nf(x_k^*)\cdot(x_k-x_{k-1}) }

Nous observons le dessin le k-ème terme de cette somme de Riemann, qui concerne donc l'intervalle IkI_k avec le point xkx_k^* et la valeur de la fonction en ce point. Nous utilisons cette valeur f(xk)f(x_k^*) pour définir un rectangle (bleu hachuré), qui a IkI_k pour base et f(xk)f(x_k^*) pour hauteur.

Riemann

Donc, si f(xk)f(x_k^*) est un nombre positif comme sur ce dessin, alors le produit f(xk)(xkxk1)f(x_k^*)\cdot(x_k-x_{k-1}) représente l'aire de ce rectangle puisque l'on multiplie sa base (xkxk1)(x_k-x_{k-1}) par sa hauteur qui est f(xk)f(x_k^*). De plus, l'aire de ce rectangle approxime assez bien (on l'espère) l'aire sous le graphe de la fonction entre xk1x_{k-1} et xkx_k.

Ainsi, si la fonction ff est positive comme sur notre dessin, alors la somme de Riemann est une somme d'aires de rectangles de hauteurs variables (puisqu'ils ont tendance à épouser le graphe de la fonction) qui fournit une approximation relativement bonne de l'aire sous la courbe.

Riemann

En augmentant le nombre de rectangles, en les prenant avec des bases toujours plus petites, et avec des hauteurs qui épousent toujours mieux le graphe de la fonction, alors on rendra la valeur de la somme de Riemann aussi proche que l'on voudra de l'aire exact sous la courbe.

Ce que l'on désire donc faire, d'un point de vue théorique, c'est de prendre une limite de la somme de Riemann (1)(1), où n tend vers l'infini et correspond au nombre de rectangles associés à la partition.

limnk=1nf(xk)(xkxk1)(2)\tag{2} \boxed{ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k^*)\cdot(x_k-x_{k-1}) }

Il s'agit d'une "limite" à mettre entre guillemets, étant donné qu'elle n'est pas encore bien définie pour le moment et que c'est assez compliqué à faire. Si l'on veut augmenter nn, le nombre de rectangles (sachant que, pour rappel, nous travaillons toujours au sein d'un intervalle [a;b][a;b] qui est fixe), alors il faut augmenter le nombre de choix des points xkx_k^* dans chacun des intervalles IkI_k. D'autre part, afin d'être plus précis, on désirerait garantir que la taille de chacun des intervalles IkI_k tende vers 00. Donc, si l'on appelle Δxk\Delta x_k la taille de l'intervalle, c'est-à-dire (xkxk1)(x_k-x_{k-1}), on aimerait que Δxk0\Delta x_k\rightarrow0.

Définition de l'intégrale de Riemann

Donnons donc à présent un sens à cette limite en passant par une vraie définition. Soit une fonction ff sur un intervalle fermé [a;b][a;b] (nous évoquerons sa continuité plus tard). On dit que la fonction ff est intégrable (au sens de Riemann) s'il existe un II (que nous appellerons intégrale de ff), tel que pour tout E\Epsilon (epsilon) strictement positif, il existe un nombre δ\delta strictement positif, tel que quelque soit la partition (x0,x1,...,xn)(x_0,x_1,...,x_n) que l'on prend de l'intervalle [a;b][a;b], partition dont le Δxk\Delta x_k est plus petit que δ\delta, et pour tout choix des points xkx_k^* à l'intérieur de chacun des intervalles IkI_k, alors on obtient que la somme de Riemann associée (1)(1) a une différence avec II qui est au plus égale à E\Epsilon.

Soit f:[a;b]R. On dit que f est inteˊgrable (au sens de Riemann)  si IR tel que E>0,δ>0 tel quepour toute partition (x0,x1,...,xn) de [a;b] pour laquelle chaque Δxkδ, et pour tout choix de pointsxkIk=[xk1;xk], on a que [k=1nf(xk)(xkxk1)]IE.\text{Soit } f:[a;b]\rightarrow\R. \text{ On dit que } f \text{ est intégrable (au sens de Riemann) }\\ \text{ si } \exist I \in \R \text{ tel que } \forall \Epsilon > 0, \exist \delta > 0 \text{ tel que}\\ \text{pour toute partition } (x_0,x_1,...,x_n) \text{ de } [a;b] \text{ pour laquelle }\\ \text{chaque }\Delta x_k \leqslant \delta, \text{ et pour tout choix de points}\\ x_k^*\in I_k=[x_{k-1};x_k], \text{ on a que }\\ \lvert[\sum_{k=1}^nf(x_k^*)\cdot(x_k-x_{k-1})]-I\lvert\leqslant\Epsilon.

Notation

Ce nombre II, lorsqu'il existe, est noté de la façon suivante.

I=abf(x)dxI=\int_a^bf(x)\text{d}x

On l'appelle "intégrale définie sur l'intervalle [a;b][a;b] de la fonction ff". Elle est aussi appelée "intégrale de Riemann" car elle a rigoureusement été définie par ce dernier et ses contemporains.

Voici quelques remarques à propos de cette notation.

  1. Il y a d'abord ce symbole \int qui ressemble un peu à un "s" et qui vient de "somme". Il a été introduit par Newton.

  2. Et que sommons-nous exactement ? Rappelons-nous qu'à l'origine nous faisons la somme de rectangles. Ces rectangles sont de largeur Δxk\Delta x_k et de hauteur f(xk)f(x_k^*). Nous sommions donc sur un indice kk discret des grandeurs de f(xk)Δxkf(x_k^*)\cdot\Delta x_k. Suite au processus de limite défini plus haut (2)(2), où nous prenons toujours plus de rectangles avec des largeurs toujours plus fines, on obtient finalement des rectangles de largeur "infinitésimales". Ainsi, leur largeur n'est plus un Δx\Delta x mais un élément appelé dx\text{d}x. De ce fait, le rectangle a une aire définie par une hauteur f(x)f(x) multipliée par sa base dx\text{d}x, à savoir f(x)dxf(x)\text{d}x.

    Riemann

Remarque concernant le signe

Si ff est positive (comme sur nos dessins), alors l'intégrale représente l'aire sous le graphe, c'est-à-dire l'aire de la région DD, délimitée par le graphe de ff, l'axe des xx, et les deux droites verticales d'équation x=a,x=bx=a, x=b.

Si f(x)0,x[a;b], alors abf(x)dx repreˊsente l’aire sous le graphe.\text{Si }f(x)\geqslant0, \forall x\in [a;b], \text{ alors }\int_a^bf(x)\text{d}x\text{ représente l'aire sous le graphe.}

Riemann

En revanche, si la fonction ff n'est pas de signe constant positif, c'est-à-dire si elle peut changer de signe sur l'intervalle [a;b][a;b], alors l'intégrale de aa à bb de ff est aussi définie et il s'agit également d'un nombre. Seulement, ce nombre ne représente pas l'aire mais l'aire analytique de la région DD, qui tient compte des contributions positives et négatives de la fonction.

Riemann

Une question qui vient à présent naturellement à l'esprit est de se demander quelles fonctions il est possible d'intégrer selon la définition que nous venons de donner à l'intégrale.

Théorème

Il y a une condition imposée à une fonction pour qu'elle soit intégrable : elle soit être suffisamment lisse, dans le sens d'être continue. Un théorème (que nous ne démontrerons pas) dit que si une fonction est continue sur un intervalle [a;b][a;b] fermé et borné, alors elle est intégrable.

Si f:[a;b]R est continue, alors elle est inteˊgrable.(3)\tag{3} \boxed{\text{Si }f:[a;b]\rightarrow\R \text{ est continue, alors elle est intégrable.} }

En outre, on peut imposer à la fonction une condition un peu plus faible, celle d'être continue par morceaux. Cela signifie que cette fonction peut avoir un nombre fini de discontinuités sur l'intervalle [a;b][a;b].

Riemann

Maintenant que nous avons un critère d'intégrabilité, la question est de savoir comment calculer l'intégrale sur un intervalle [a;b][a;b] d'une fonction ff qui est intégrable.

Calcul d'une intégrale

Nous savons que l'intégrale, par définition, part d'une somme de Riemann. Donc, ce que nous pourrions faire est de considérer une partition de l'intervalle [a;b][a;b], établir une somme de Riemann et approximer la valeur de l'intégrale par cette somme de Riemann.

abf(x)dxk=1nf(xk)Δxk\int_a^bf(x)\text{d}x\approx \sum^n_{k=1}f(x_k^*)\Delta x_k

Riemann

Malheureusement, cette somme de Riemann ne fournira jamais qu'une approximation. Ce que l'on aimerait donc connaître, c'est l'erreur par rapport à la vraie valeur de l'intégrale que l'on désire calculer.

Pour ce faire, nous pouvons observer de plus près un intervalle IkI_k associé à une partition. Si l'on choisit dans cet intervalle un point xkx_k^* quelconque et que l'on regarde la valeur f(xk)f(x_k^*) de la fonction en ce point, on observe que cette valeur est toujours plus petite ou égale au maximum de la fonction sur cet intervalle et toujours plus grande ou égale au minimum de la fonction sur cet intervalle.

Riemann

Cela s'applique à tous les intervalles. On peut donc écrire pour chaque intervalle IkI_k, que peu importe le choix du point xkx_k^*, la valeur de la fonction en ce point est toujours plus petite ou égale à MkM_k (le maximum de ff sur IkI_k) et toujours plus grande ou égale à mkm_k (le minimum de ff sur IkI_k).

Si l'on applique cela sur chacun des intervalles I1I_1 jusqu'à InI_n d'une partition, en commençant par les maximums, ces nombres MkM_k nous permettent de définir ce que l'on appelle la somme de Darboux supérieure.

La somme de Darboux supérieure

Notation

On note la somme de Darboux supérieure avec une barre au-dessus de grand SS, à savoir Sˉn\bar{S}_n.

La somme de Darboux supérieure est définie comme la somme des MkM_k multipliés par les Δxk\Delta x_k.

Sˉn=k=1nMkΔxk(4)\tag{4} \boxed{ \bar{S}_n=\sum^n_{k=1}M_k\cdot\Delta x_k }

Où l'on rappelle que MkM_k est le maximum de ff sur l'intervalle IkI_k.

Si nous observons à présent les minimums sur chaque intervalle, on peut définir la somme de Darboux inférieure.

La somme de Darboux inférieure

Notation

La somme de Darboux inférieure est notée avec une barre en-dessous de SS, c'est-à-dire Sn\underline{S}_n.

La somme de Darboux inférieure est définie comme étant la somme des mkm_k multipliés par les Δxk\Delta x_k.

Sn=k=1nmkΔxk(5)\tag{5} \boxed{ \underline{S}_n=\sum^n_{k=1}m_k\cdot\Delta x_k }

Où l'on rappelle que mkm_k est le minimum de ff sur l'intervalle IkI_k.

Riemann

Ainsi, si l'on veut, la somme de Darboux supérieure représente la plus grande somme de Riemann possible, tandis que la somme de Darboux inférieure est la plus petite somme de Riemann possible.

Plus intéressant, l'aire de la vraie courbe est plus petite que la somme de Darboux supérieure et plus grande que la somme de Darboux inférieure, quelle que soit la partition.

On peut donc dire que pour toutes partitions que l'on choisit de l'intervalle [a;b][a;b], l'intégrale de ff entre aa et bb est toujours plus grande ou égale à la somme de Darboux inférieure et toujours plus petite ou égale à la somme de Darboux supérieure et cela, même si la fonction prend des valeurs négatives.

Snabf(x)dxSˉn(6)\tag{6} \boxed{ \underline{S}_n\leqslant\int_a^bf(x)\text{d}x\leqslant \bar{S}_n }

Voyons maintenant un exemple dans lequel nous utiliserons un moyen simple pour calculer l'aire sous une courbe.

Exemple

Pour cet exemple, nous prendrons en guise de courbe la même parabole qu'Archimède (voir Introduction), d'équation y=1x2=f(x)y=1-x^2=f(x).

Nous aimerions donc calculer le nombre AA, à savoir l'aire en dessous de la parabole et au-dessus de l'axe des xx et qui se trouve entre 1-1 et 11. Étant donné que la fonction 1x21-x^2 est paire (c'est-à-dire symétrique par rapport à l'axe des yy), il suffit en fait de doubler une moitié de l'aire totale. Nous prendrons la moitié de droite, celle située entre 00 et 11. Nous calculerons donc l'intégrale de 00 à 11 de la fonction 1x21-x^2.

A=201(1x2)dxA = 2\cdot \int_0^1(1-x^2)\text{d}x

Riemann

Nous calculerons cette intégrale en utilisant des sommes de Darboux.

Visualisation des sommes de Darboux

La surface gris clair sous la courbe de la fonction y=1x2y=1-x^2 représente l'aire qui nous intéresse.

En cochant la première case, nous pouvons faire apparaître la somme de Darboux supérieure. Grâce au curseur, nous pouvons faire varier leur nombre. Commençons par le régler sur n=3n=3. Nous remarquons que tous les éléments de la partition choisie (I1,I2,I3I_1,I_2,I_3) ont la même taille, à savoir 13\frac{1}{3}. Nous remarquons que la hauteur de chacun des rectangles rouges correspond au maximum de la fonction sur leur intervalle.

En cochant ensuite la deuxième case, nous pouvons faire apparaître la somme de Darboux inférieure. On observe bien que la hauteur de chacun des rectangles bleus correspond au minimum de la fonction sur leur intervalle. En outre, étant donné que le minimum de la fonction vaut 00 sur le troisième intervalle, la hauteur du rectangle associé est nulle, il n'y a donc pas de troisième rectangle.

Si nous regardons la valeur de la somme de Darboux supérieure (environ 0.810.81 si le curseur est réglé sur n=3n=3), il s'agit de la somme des aires de ces trois rectangles rouges.

La somme de Darboux inférieure (toujours pour n=3n=3) a quant à elle une valeur bien différente, soit environ 0.480.48, ce qui n'est toutefois guère étonnant puisqu'il n'y a que 22 rectangles.

Si nous augmentons maintenant le nombre de rectangles grâce au curseur, on remarque que les sommes de Darboux supérieures et inférieures affichent des valeurs de plus en plus proches. Autrement dit, leur écart diminue. On a donc l'impression que si l'on pouvait faire tendre le nombre de rectangles vers l'infini, on obtiendrait des sommes de Darboux dont les valeurs deviendraient arbitrairement proches.

Encore mieux : étant donné que les sommes de Darboux supérieure et inférieure ont apparemment une limite identique lorsque nn tend vers l'infini, la vraie valeur de l'aire sous la courbe est toujours comprise entre la valeur de la somme de Darboux supérieure et la valeur de la somme de Darboux inférieure.

Cette limite lorsque nn tend vers l'infini, si on sait la calculer, doit nous donner la valeur de l'aire sous la courbe. Procédons donc à ce calcul.

Pour ce faire, nous commençons par partitionner l'intervalle [0;1][0;1] avec des intervalles de même taille, que l'on appelle une partition régulière.

Riemann

Cette partition régulière de [0;1][0;1] à nn intervalles, est une partition de [0;1] où les intervalles I1,I2,...,InI_1,I_2,...,I_n ont tous la même longueur. Afin qu'ils aient tous la même taille, il faut que celle-ci corresponde à 1n\frac{1}{n}.

Partition reˊgulieˋre de [0;1]:n intervalles I1,I2,...In de longueur 1n.\begin{aligned} &\underline{\text{Partition régulière de }[0;1]:}\\ & n \text{ intervalles }I_1,I_2,...I_n \text{ de longueur }\frac{1}{n}. \end{aligned}

Commençons maintenant par observer la somme de Darboux supérieure. On remarque que le maximum sur un intervalle IkI_k se trouve toujours sur le point tout à gauche de cet intervalle.

Riemann

On peut donc dire que pour la somme de Darboux supérieure, MkM_k (le maximum de la fonction sur l'intervalle IkI_k) correspond à la valeur de la fonction au point k1n\frac{k-1}{n}, le point tout à gauche de l'intervalle. De plus, comme tous les Δxk\Delta x_k valent 1n\frac{1}{n}, on peut écrire la somme de Darboux supérieure de la façon suivante

Sˉn=k=1nf(k1n)1n\bar{S}_n=\sum^{n}_{k=1}f(\frac{k-1}{n})\cdot\frac{1}{n}

Après avoir réarangé un peu les termes et utilisé le fait que f(x)=1x2f(x)=1-x^2, on obtient

Sˉn=112+22+...+(n1)2n3\bar{S}_n=1-\frac{1^2+2^2+...+(n-1)^2}{n^3}

En ce qui concerne la somme de Darboux inférieure, on remarque sur le dessin que le minimum d'un intervalle IkI_k correspond toujours au point tout à droite de cet intervalle.

Riemann

Si on procède comme avant, on peut écrire mkm_k (le minimum de la fonction sur un intervalle IkI_k) comme étant la valeur de la fonction au point kn\frac{k}{n}, à savoir f(kn)f(\frac{k}{n}).

Sn=k=1nf(kn)1n\underline{S}_n=\sum^{n}_{k=1}f(\frac{k}{n})\cdot\frac{1}{n}

Encore une fois, en réarangeant les termes et en utilisant le fait que f(x)=1x2f(x)=1-x^2, on obtient

Sn=112+22+...+n2n3\underline{S}_n=1-\frac{1^2+2^2+...+n^2}{n^3}

Rappel

L'intégrale de ff entre 00 et 11 est toujours contenue entre la somme de

Darboux inférieure et la somme de Darboux supérieure.

Sn01f(d)dxSˉn\underline{S}_n\leqslant \int_{0}^{1}f(d)\text{d}x\leqslant \bar{S}_n

Maintenant que nous avons calculé ces sommes de Darboux supérieure et inférieure

Sˉn=112+22+...+(n1)2n3Sn=112+22+...+n2n3\begin{aligned} &\bar{S}_n=1-\frac{1^2+2^2+...+(n-1)^2}{n^3}\\ &\underline{S}_n=1-\frac{1^2+2^2+...+n^2}{n^3} \end{aligned}

On remarque que les deux contiennent une somme de carrés, nous utiliserons donc la formule qui dit que la somme des carrés des nn entiers est égale à nn fois (n+1)(n+1) fois (2n+1)(2n+1), le tout divisé par 66.

12+22+32+...+(n1)2+n2=n(n+1)(2n+1)61^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Si l'on utilise directement cette formule pour la somme de Darboux inférieure, il n'y a aucun problème, puisqu'il suffit de remplacer. On obtient alors

Sn=1n(n+1)(2n+1)6n3\underline{S}_n=1-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}

Si on l'utilise pour la somme de Darboux supérieure, l'expression est un peu moins jolie car il faut utiliser la formule pour (n1)(n-1) au lieu de nn. On obtient finalement

Sˉn=1(n1)n(2(n1)+1)6n3\bar{S}_n=1-\frac{(n-1)\cdot n \cdot (2(n-1)+1)}{6n^3}

Dans les deux cas, nous venons donc d'éliminer la somme et il ne nous reste que des fractions. De plus, on peut effectuer une simplification par n3n^3 dans les deux cas.

Sˉn=1(11n)(21n)6Sn=1(1+1n)(2+1n)6\begin{aligned} &\bar{S}_n=1-\frac{(1-\frac{1}{n})(2-\frac{1}{n})}{6}\\ &\underline{S}_n=1-\frac{(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})}{6} \end{aligned}

Sous cette forme, nous somme capables d'en calculer les limites lorsque nn tend vers l'infini. En effet, on voit que Sˉn\bar{S}_n tend vers 26=13\frac{2}{6}=\frac{1}{3} et Sn\underline{S}_n aussi vers 26=13\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

Ainsi, puisque

Sn01f(d)dxSˉn\underline{S}_n\leqslant \int_{0}^{1}f(d)\text{d}x\leqslant \bar{S}_n

Et que les valeurs de Sn\underline{S}_n et Sˉn\bar{S}_n convergent les deux vers 23\frac{2}{3} (calculé en faisant 1131-\frac{1}{3}), on obtient que

01f(d)dx=23\int_{0}^{1}f(d)\text{d}x=\frac{2}{3}

Étant donné qu'il s'agit de la moitié de l'aire sous la parabole, nous pouvons à présent conclure que l'aire sous la parabole de y=1x2y=1-x^2 vaut exactement 223=432\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}, comme l'avait dit Archimède.

Propriétés

Définition

La définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction ff sur un intervalle [a;b][a;b] est compliquée... elle implique des partitions, des choix de points, des epsilons (E\Epsilon) et des deltas (δ\delta). En somme, elle fait de l'intégrale de Riemann un objet qui est, pour l'instant, assez difficile à manipuler.

Définition d'une intégrale de Riemann

Soit f:[a;b]R.f:[a;b]\rightarrow\R. On dit que ff est intégrable (au sens de Riemann) si IR\exist I \in \R tel que E>0\forall \Epsilon >0, δ>0\exist\delta>0 tel que pour toute partition (x0,x,...,xn)(x_{0}, x,...,x_n) de [a;b][a;b] pour laquelle chaque Δxkδ\Delta x_k\leqslant \delta, et pour tout choix de points xkIk=[xk1;xk]x^*_k\in I_k = [x_{k-1};x_k], on a que [k=1nf(xkxk1)]IE\lvert[\sum^n_{k=1}f(x^*_k-x_{k-1})]-I\lvert\leqslant\Epsilon.

Notation

I=abf(x)dx, est appeleˊe inteˊgrale de f.I=\int^b_af(x)\text{d}x\text{, est appelée intégrale de }f.

Objectif

Le but de ce chapitre est d'énoncer des propriétés qui découlent de la définition générale de l'intégrale de Riemann d'une fonction. Ces propriétés nous permettront ensuite de calculer des intégrales de façon plus efficace.

Rappel

Rappelez-vous que l'intégrale est un nombre. Il s'agit d'un nombre réel qui est construit à partir de xx sur l'intervalle [a;b][a;b].

abf(x)dx est un nombre !\int^b_af(x)\text{d}x\text{ est un nombre !}

D'ailleurs, ce n'est pas parce que des xx apparaissent dans la notation de l'intégrale qu'elle dépend de xx. Dans ce cas, xx est appelée variable muette. xx n'a servi qu'à construire cette intégrale. En fait, à la place d'un xx, on aurait tout aussi bien pu utiliser un tt, un α\alpha, ou n'importe quelle autre lettre.

abf(x)dx=abf(t)dt=abf(α)dα, etc...\int^b_af(x)\text{d}x=\int^b_af(t)\text{d}t=\int^b_af(\alpha)\text{d}\alpha\text{, etc...}

Propriétés de base de l'intégrale

Note

Ci-dessous, on supposera toujours que les fonctions ff et gg sont intégrables sur les intervalles considérés.

Intégrale en un point (convention)

La première propriété (qui est plutôt une convention) est que si l'on intègre une fonction sur un point et non pas sur un intervalle, l'intégrale vaut 00.

aaf(x)dx=0(1)\tag{1}\boxed{\int^a_af(x)\text{d}x=0}

Relation de Chasles

Si l'on intègre une fonction sur un intervalle [a;b][a;b] et que l'on s'arrête en un point intermédiaire cc, alors on obtient la relation suivante

texte alternative

Si a<c<b,acf(x)dx+cbf(x)dx=abf(x)dx(2)\tag{2} \boxed{ \text{Si } a<c<b,\int^c_af(x)\text{d}x+\int^b_cf(x)\text{d}x=\int^b_af(x)\text{d}x }

Selon cette relation, l'intégrale de aa à cc de ff + l'intégrale de cc à bb de ff (qui correspond à la somme des deux aires en hachurées sur l'image si la fonction est positive) est égale à l'intégrale de ff de aa jusqu'à bb.

texte alternative

Cette relation est appelée relation de Chasles et possède un analogue en géométrie vectorielle.

L'intégrale et son opposé

Comment définir une intégrale de bb à aa d'une fonction ff si aa est plus petit que bb ?

Si a<b,abf(x)dx=?\text{Si a<b,} \int^b_af(x)\text{d}x = \text{?}

Ceci n'est pas très naturel, puisque l'on va toujours du début de l'intervalle, jusqu'à la fin. En s'inspirant de la relation de Chasles, on aurait alors que l'intégrale de aa à bb + l'intégrale de bb à aa devrait être égale à l'intégrale de aa à aa (qui vaut 00, conformément à la première propriété).

abf(x)dx+baf(x)dx=aaf(x)dx=0\begin{aligned} \int^b_af(x)\text{d}x+\int^a_bf(x)\text{d}x&=\int^a_af(x)\text{d}x\\&=0 \end{aligned}

Il paraît donc assez naturel que la seconde intégrale devrait valoir l'opposé de la première.

baf(x)dx=abf(x)dx(3)\tag{3}\boxed{\int^a_bf(x)\text{d}x=-\int^b_af(x)\text{d}x}

Donc, on définit l'intégrale de bb à aa comme étant l'opposé de l'intégrale de aa à bb.

texte alternative

Il paraît d'ailleurs assez naturel de penser qu'en allant de bb jusqu'à aa, c'est-à-dire "à reculons", et que l'on construit, pour ce faire, des rectangles afin de former une somme de Riemann, la base de ces rectangles sera négative. En effet, la base de ces rectangles se calcule alors comme un xk1xkx_{k-1}-x_{k} qui donne bien un (xkxk1)-(x_k-x_{k-1}) qui est une longueur.

Intégration de la somme de deux fonctions

Si l'on intègre une somme de deux fonctions f+gf+g, alors l'intégrale de cette somme est égale à la somme des intégrales des deux fonctions.

ab(f(x)+g(x))dx=abf(x)dx+abg(x)dx(4)\tag{4}\boxed{\int^b_a(f(x)+g(x))\text{d}x=\int^b_af(x)\text{d}x+\int^b_ag(x)\text{d}x}

Pourquoi cette relation est-elle vraie ? Ce n'est pas vraiment surprenant si l'on pense au procédé qui permet de définir l'intégrale. Si nous avons ff et que nous y ajoutons une fonction gg pour obtenir f+gf+g, nous construisons alors l'intégrale de f+gf+g. Pour ce faire, nous utilisons des rectangles qui peuvent tous, dans une somme de Riemann pour f+gf+g, être décomposés en un rectangle pour ff (en bleu) sur lequel on additionne un rectangle pour gg (en rouge).

texte alternative

Ainsi, lorsqu'on écrit la somme de Riemann correspondante à f+gf+g, on obtient

k=1n(f(xk)+g(xk))Δxk=k=1nf(xk)Δxk+k=1ng(xk)Δxk\begin{aligned} &\sum^n_{k=1}(f(x^*_k)+g(x^*_k))\Delta x_k=\\ &\sum^n_{k=1}f(x^*_k)\Delta x_k+\sum^n_{k=1}g(x^*_k)\Delta x_k \end{aligned}

on peut simplement la diviser en deux étant donné qu'il s'agit d'une somme finie, à savoir la somme pour les ff + la somme pour les gg. Du point de vue des sommes de Riemann, cette relation est donc évidente.

Intégration d'une fonction multipliée par une constante

Lorsqu'on intègre une fonction multipliée par une constante λ\lambda, alors cette constante peut être sortie de l'intégrale.

Si λ est une constante reˊelle,abλf(x)dx=λabf(x)dx(5)\tag{5}\begin{aligned} &\text{Si }\lambda \text{ est une constante réelle,}\\ &\boxed{\int^b_a\lambda\cdot f(x)\text{d}x=\lambda\cdot\int^b_af(x)\text{d}x} \end{aligned}

À condition que λ\lambda soit bien un nombre qui ne dépend pas de xx.

Comparaison d'intégrales

Cette propriété est très utile pour étudier l'intégrale d'une fonction ff compliquée. En effet, si ff peut être comparée à gg, c'est-à-dire si ff est plus petite ou égale à gg pour tous les xx sur un intervalle [a;b][a;b], alors l'intégrale de ff est plus petite ou égale à celle de gg.

Si f(x)g(x),x[a;b], alorsabf(x)dxabg(x)dx(6)\tag{6}\boxed{ \begin{aligned} &\text{Si }f(x)\leqslant g(x),\forall x\in[a;b]\text{, alors}\\ &\int^b_af(x)\text{d}x\leqslant\int^b_ag(x)\text{d}x \end{aligned}}

Cette propriété apparaît très clairement du point de vue des sommes de Riemann. En effet, si l'on a deux fonctions ff et gg, et que l'on écrit la somme de Riemann pour ff, on remarque que tous les rectangles construits à cet effet (sur la première image) peuvent être comparés à des rectangles plus grands (sur la seconde image), qui correspondent à ceux de la somme de Riemann pour gg.

texte alternative

texte alternative

Ainsi, si l'on écrit la somme de Riemann avec des points xkx_k^* pour ff

k=1nf(xk)Δxkk=1ng(xk)Δxk\sum^n_{k=1}f(x^*_k)\Delta x_k\leqslant\sum^n_{k=1}g(x^*_k)\Delta x_k

puisque f(xk)f(x_k^*) est plus petit que g(xk)g(x_k^*), on peut écrire (étant donné qu'il s'agit d'une somme finie) que la somme de Riemann pour ff est plus petite ou égale la somme de Riemann pour gg.

Utilisons immédiatement cette comparaison afin de démontrer une inégalité très utile...

Valeur absolue

Si l'on désire estimer l'intégrale de aa à bb de ff, c'est-à-dire estimer sa valeur absolue, alors cette valeur absolue est plus petite ou égale à l'intégrale de la valeur absolue de ff.

abf(x)dxabf(x)dx(7)\tag{7}\boxed{\lvert\int^b_af(x)\text{d}x\lvert\leqslant\int^b_a\lvert f(x)\lvert\text{d}x}

Comment démontrer cette inégalité ? On commence par écrire que pour tout xx dans l'intervalle [a;b][a;b], f(x)f(x) est un nombre compris entre la valeur absolue de f(x)f(x) et l'opposé de la valeur absolue de f(x)f(x)

x[a;b],f(x)f(x)f(x).(7.1)\tag{7.1}\begin{aligned} &\forall x \in [a;b], \\& -\lvert f(x)\lvert\leqslant f(x)\leqslant\lvert f(x)\lvert. \end{aligned}

Si l'on utilise ensuite la comparaison définie plus haut (6)(6), pour l'inégalité f(x)f(x),f(x)\leqslant\lvert f(x)\lvert, on obtient que l'intégrale de aa à bb de f(x)f(x) est plus petite ou égale à l'intégrale de la valeur absolue de f(x)f(x)

abf(x)dxabf(x)dx.(7.2)\tag{7.2}\int^b_af(x)\text{d}x\leqslant\int^b_a\lvert f(x)\lvert\text{d}x.

Si l'on utilise encore une fois la comparaison (6)(6) pour l'inégalité f(x)f(x)-\lvert f(x)\lvert\leqslant f(x), on obtient que l'intégrale de ff est plus grande ou égale à l'intégrale de l'opposé de la valeur absolue de ff

ab(f(x))dxabf(x)dx.(7.3)\tag{7.3}\int^b_a(-\lvert f(x)\lvert)\text{d}x\leqslant\int^b_af(x)\text{d}x.

Enfin, si nous réunissons les relations (7.2)(7.2) et (7.3)(7.3), nous obtenons

ab(f(x))dxabf(x)dxabf(x)dx.(7.4)\tag{7.4}\int^b_a(-\lvert f(x)\lvert)\text{d}x\leqslant\int^b_af(x)\text{d}x\leqslant\int^b_a\lvert f(x)\lvert\text{d}x.

Dans la première expression, le signe - devant la valeur absolue peut être sorti de l'intégrale et placé devant, conformément à la propriété (5)(5), définie ci-dessus. On peut donc écrire

abf(x)dxabf(x)dxabf(x)dx.(7.5)\tag{7.5}-\int^b_a\lvert f(x)\lvert\text{d}x\leqslant\int^b_af(x)\text{d}x\leqslant\int^b_a\lvert f(x)\lvert\text{d}x.

Ainsi, on démontre bien l'inégalité (7)(7).

Le théorème de la moyenne

Pour terminer, nous allons énoncer et démontrer le théorème de la moyenne.

D'abord, qu'est-ce que la moyenne d'une fonction ?

Définition de la moyenne d'une fonction

Soit ff une fonction définie sur l'intervalle [a;b][a;b] fermé, qui est intégrable sur cet intervalle. La moyenne de la fonction ff sur l'intervalle [a;b][a;b] est définie comme le nombre noté fˉ\bar{f} (ff barre) qui est égal à 11 divisé par la taille de l'intervalle (bab-a) multiplié par l'intégrale de aa à bb de la fonction ff

Soit f:[a;b]R (inteˊgrable)La moyenne de f sur [a;b] est deˊfinie parfˉ:1baabf(x)dx.(8)\tag{8}\begin{aligned} &\text{Soit }f:[a;b]\rightarrow\R\text{ (intégrable)}\\ &\underline{\text{La moyenne}}\text{ de } f\text{ sur } [a;b]\text{ est définie par}\\ \end{aligned}\\ \bar{f}:\frac{1}{b-a}\cdot\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x.

Cette définition paraît assez naturelle si l'on se souvient de la définition d'une moyenne pour une famille de nombres x1,x2,...x_1,x_2,... jusqu'à xNx_N. En l'ocurrence, la moyenne de ces nombres (par exemple une moyenne de notes) se calcule en faisant 11 divisé par le nombre de notes (NN) , qui est analogue au 1ba\frac{1}{b-a} de la définition (8)(8), multiplié par la somme des nombres x1x_1 jusqu'à xNx_N. Toujours de façon analogue, cette somme correspond à l'intégration de la fonction ff entre aa et bb

{x1,x2,...}xˉ=1N(x1+x2+...+xN)\lbrace x_1,x_2,...\rbrace\rightarrow\bar{x}=\frac{1}{N}\cdot(x_1+x_2+...+x_N)

Comme calcul de valeur moyenne d'une quantité qui dépend d'un paramètre continu, on pourrait donner l'exemple de la température moyenne.

Exemple de la température moyenne

texte alternative

Comment calcule-t-on une température moyenne ? Supposons qu'au temps tt on mesure une température T(t)T(t) en un point du globe. Cette température varie en fonction du temps, il s'agit d'une fonction continue. Supposons que nous la mesurions sur un intervalle de temps t0t_0. Alors, la température moyenne Tˉ\bar{T} au cours de cet intervalle de temps t0t_0, est égale à l'intégrale de 00 à t0t_0 de la fonction T(t)T(t), multiplié par l'inverse de t0t_0

Tˉ=1t00t0T(t)dt.\bar{T}=\frac{1}{t_0}\cdot\int^{t_0}_{0}T(t)\text{d}t.

Exemple du bloc de glace

Une autre façon de s'imaginer la valeur moyenne d'une fonction serait de prendre une fonction positive et considérer son graphe sur l'intervalle [a;b] comme représentant la forme d'un bloc de glace. Dans ce cas, l'intégrale de ff sur [a;b][a;b] représente simplement la quantité totale de glace dans ce bloc.

Si f(x)0f(x)\geqslant 0 :

texte alternative

abf(x)dx=quantiteˊ de glace.\int^b_af(x)\text{d}x=\text{quantité de glace.}

Supposons ensuite que nous laissions cette glace fondre. Nous revenons quelques heures plus tard, la glace a fondu et le volume d'eau est égal en première approximation au volume de glace original. Nous affirmons alors que la hauteur du niveau d'eau est précisément égal à la moyenne de ff. Puisque la quantité d'eau doit être égale à la quantité de glace, et que la quantité d'eau se calcule simplement en multipliant la base (ba)(b-a) par la hauteur du rectangle, à savoir la moyenne (fˉ)(\bar{f}). On remarque que l'on retombe sur ce qui définit la moyenne de la fonction ff

abf(x)dxvolume de glace=fˉ(ba)volume d’eau\underbrace{\int^b_af(x)\text{d}x}_{\text{volume de glace}}=\underbrace{\bar{f}\cdot(b-a)}_{\text{volume d'eau}}

texte alternative

Théorème de la moyenne

Passons maintenant à l'énoncé du théorème de la moyenne. Pour ce faire, il nous faut une fonction ff qui soit continue, c'est-à-dire intégrable. On affirme alors qu'il existe un nombre cc tel que la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle [a;b][a;b] est exactement égal à la valeur de la fonction ff au point cc

Soit f:[a;b]R (continue)Il existe c]a;b[ tel que :fˉ=1baabf(x)dx=f(c)(9)\tag{9} \boxed{ \begin{aligned} &\text{Soit } f:[a;b]\rightarrow \R \text{ (continue)} \\ &\text{Il existe } c\in]a;b[\text{ tel que :}\\ &\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int^{b}_{a}f(x)\text{d}x=f(c) \end{aligned} }

Démonstration

Il faut commencer par remarquer qu'en tout point xx de l'intervalle [a;b][a;b], f(x)f(x) est plus petite ou égale au maximum (M\text{M}) de la fonction ff sur cet intervalle, tout en étant plus grand ou égal au minimum (m\text{m}) de la fonction ff sur l'intervalle

x[a;b],(min de f(x),x[a;b]mf(x)M (max de f(x),x[a;b])\begin{aligned} &\forall x \in [a;b],\\ &\text{(min de $f(x), x\in[a;b]$) } \text{m}\leqslant f(x)\leqslant \text{M} \text{ (max de $f(x),x \in[a;b]$)} \end{aligned}

En utilisant la comparaison (6)(6) définie ci-dessus, si f(x)Mf(x)\leqslant \text{M}, on obtient que l'intégrale de ff est plus petite ou égale à l'intégrale de M\text{M}

abf(x)dxabMdx\int^{b}_{a}f(x)\text{d}x\leqslant \int^{b}_{a}\text{M}\text{d}x

Or, étant donné que M\text{M} est une constante, son intégrale correspond à la multiplication de M\text{M} par la taille de l'intervalle (ba)(b-a). On peut donc écrire

abf(x)dxM(ba)\int^{b}_{a}f(x)\text{d}x\leqslant\text{M}\cdot (b-a)

Si l'on procède de la même manière pour le minimum, on déduit que

m(ba)abf(x)dx\text{m}\cdot(b-a)\leqslant\int^{b}_{a}f(x)\text{d}x

En réunissant les deux inégalités, on obtient alors

m(ba)abf(x)dxM(ba)\text{m}\cdot(b-a)\leqslant\int^{b}_{a}f(x)\text{d}x\leqslant\text{M}\cdot (b-a)

Si l'on divise ensuite tous les termes par (ba)(b-a), on obtient

m1baabf(x)dxfˉM\text{m}\leqslant\underbrace{\frac{1}{b-a}\cdot\int^{b}_{a}f(x)\text{d}x}_{\bar{f}}\leqslant\text{M}

À savoir que la valeur moyenne de la fonction ff est comprise entre m\text{m} et M\text{M}. Puisque la fonction ff est continue, c'est-à-dire qu'elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre son minimum et son maximum (conséquence directe du théorème de la valeur intermédiaire), il doit donc exister un point cc où la fonction ff prend la valeur fˉ\bar{f}

c tel que f(c)=fˉ.\begin{aligned} \exist c\text{ tel que } f(c)=\bar{f}.\\ &\square \end{aligned}

Le théorème fondamental de l'analyse

Objectif

Notre objectif est de développer des méthodes qui permette de calculer l'intégrale d'une fonction ff sur un intervalle [a;b][a;b].

abf(x)dx= ?\int_a^bf(x)\text{d}x = \text{ ?}

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Rappel

Pour l'instant, il n'y a pas beaucoup d'intégrales que nous savons calculer.

Nous aimerions maintenant une méthode beaucoup plus robuste, qui s'applique plus généralement.

La fonction-aire

Afin de développer une technique d'intégration plus générale, nous commençons par faire quelque chose qui semble, à priori, plus compliqué. Nous fixons un xx entre aa et bb et considérons A(x)A(x), qui correspond à l'aire sous la courbe entre aa et xx, comme nous le voyons sur ce dessin.

TheoFond

Définition

Définissons pour une fontion ff qui est intégrable, la fonction-aire associée à ff, comme étant la fonction A(x)A(x) qui est l'intégrale de aa à xx de ff.

A(x):=axf(t)dt,x[a;b]\boxed{ A(x):=\int_a^xf(t)\text{d}t, x\in[a;b] }

Notes

  • Attention, nous appelons ici la variable muette tt plutôt que xx, puisque xx est déjà utilisé.

  • Cette fonction est définie sur tout l'intervalle [a;b][a;b].

Remarques

Exemples

  1. Pour ce premier exemple, nous reprendrons la fonction constante f(x)=Cf(x)=C. Dans ce cas, si on fixe un xx intermédiaire, et que l'on calcule A(x)A(x), qui est l'intégrale entre aa et xx de cette constante, comme cette intégrale correspond toujours à l'aire d'un rectangle, elle vaut la valeur de la base multipliée par la hauteur, à savoir CC fois (xa)(x-a).

    A(x)=axCdt=C(xa)\begin{aligned} A(x)&=\int_a^xC\text{d}t\\ &=C\cdot(x-a) \end{aligned}

    Capture d’écran 2020-05-18 à 11.56.58.png Sur ce schéma interactif, on représente au-dessus de xx un point à la hauteur A(x)A(x), qui nous permet de visualiser comment A(x)A(x) dépend de xx. On remarque en déplaçant xx entre aa et bb que A(0)=0A(0)=0, comme nous le savions déjà, et on voit que A(x)A(x) augmente à mesure que xx se rapproche de bb. En cochant la case qui permet de tracer le graphe de A(x)A(x), on peut même constater que A(x)A(x) augmente linéairement. Ce graphe représente la fonction A(x)A(x) qui est égale à C(xa)C\cdot(x-a).

  2. Dans ce deuxième exemple, on complique un peu les choses en prenant une droite qui n'est pas horizontale, à savoir une fonction de la forme f(x)=mx+h,m0f(x)=m\cdot x+h, m\not= 0. Prenons plus précisément une droite avec une pente et une ordonnée à l'origine positive. Comment calcule-t-on A(x)A(x) dans ce cas ? C'est un peu plus compliqué qu'avant car l'aire de A(x)A(x) correspond là à l'aire d'un trapèze et non pas d'un rectangle.

    TheoFond

    Afin de calculer l'aire d'un trapèze, il faut faire la moyenne de la grande et de la petite base, en l'occurrence (ma+h)(mx+h)2\frac{(ma+h)(mx+h)}{2} fois la hauteur qui correspond ici à (xa)(x-a).

    A(x)=(ma+h)(mx+h)2(xa)A(x)=\frac{(m\cdot a+h)\cdot(m\cdot x+h)}{2}\cdot (x-a)

    Après simplification, on obtient que cette aire correspond à

    A(x)=12(x2a2)+h(xa)A(x)=\frac{1}{2}(x^2-a^2)+h\cdot(x-a)

    Capture d’écran 2020-05-19 à 08.01.30.png

    Si l'on observe la valeur de A(x)A(x) sur ce schéma interactif en faisant varier la position de xx, on remarque en cochant la case qui permet de faire apparaître la courbe décrite par A(x)A(x) que celle-ci n'est plus linéaire. Il s'agit d'une fonction quadratique qui s'explique par le x2x^2 dans la fonction A(x)A(x).

Remarques à propos de ces exemples
  1. Concernant le premier exemple, si l'on regarde cette fonction A(x)A(x) et qu'on la dérive par rapport à xx, on obtient CC qui est exactement égal à f(x)f(x) !

    A(x)=C(xa)A(x)=C=f(x)\begin{aligned} A(x)&=C\cdot(x-a)\\ A'(x)&=C=f(x) \end{aligned}
  2. Pour le deuxième exemple, si l'on prend la fonction A(x)A(x) et qu'on la dérive par rapport à xx, on obtient mx+hmx+h (le x2x^2 donne le mxmx et le hh vient de h(xa)h(x-a), on rappelle par ailleurs que aa est une constante, elle n'entre donc pas en jeu). Une fois de plus, nous obtenons donc f(x)f(x) !

    A(x)=12(x2a2)+h(xa)A(x)=mx+h=f(x)\begin{aligned} A(x)&=\frac{1}{2}(x^2-a^2)+h\cdot(x-a)\\ A'(x)&=m\cdot x +h=f(x) \end{aligned}

La question que l'on peut se poser est s'il s'agit d'un hasard que la dérivée de la fonction-aire (A(x)A(x)) existe et qu'elle soit exactement égale à f(x)f(x). Serait-il possible de concocter un exemple d'une fonction ff dont la fonction-aire ne serait soit pas dérivable, soit dont la dérivée ne serait pas égale à ff ? La réponse est non. La résultat que nous énoncerons maintenant dit que ce que nous venons d'observer sur ces deux exemples est (en gros) toujours vrai ! Ce résultat est ce que l'on appelle le théorème fondamental de l'analyse.

Théorème fondamental de l'analyse

Ce théorème affirme que si l'on prend une fonction ff sur un intervalle [a;b][a;b], qui est continue sur cet intervalle fermé et que l'on définit sa fonction-aire comme nous l'avons fait tout à l'heure (à savoir en intégrant ff de aa jusqu'à xx), alors cette fonction-aire est dérivable partout à l'intérieur de l'intervalle ]a;b[]a;b[ et sa dérivée est partout exactement égale à f(x)f(x).

Soit f:[a;b]R continue, et A(x):=axf(t)dt,x[a;b]Alors A() est deˊrivable en tout x]a;b[,et A(x)=f(x),x]a;b[.\boxed{ \begin{aligned} &\text{Soit }f:[a;b]\rightarrow\R \text{ continue, et } \\ &A(x):=\int_a^xf(t)\text{d}t,x\in[a;b]\\ &\text{Alors }A(\cdot) \text{ est dérivable en tout }x\in]a;b[,\\ &\text{et }A'(x)=f(x),\forall x\in]a;b[. \end{aligned} }

Ce théorème dit que même si l'on ne sait pas vraiment calculer cette intégrale très compliquée qui définit la fonction A(x)A(x), on connaît quand même sa dérivée en tout point de l'intervalle [a;b][a;b].

Si nous y pensons un instant, retrouver une fonction à partir de sa dérivée se présente comme un exercice qui n'est pas forcément facile mais il semble à priori possible et paraît tout de même plus facile que de calculer cette intégrale A(x)A(x) via des sommes de Riemann ou de Darboux.

Avant de passer à une preuve rigoureuse, nous décrirons l'idée qui se trouve derrière la preuve et qui est très simple à comprendre.

Démonstration

Idée

Commençons par énoncer l'idée qui se trouve derrière la démonstration.

Supposons donc que l'on veuille démontrer que la dérivée de la fonction-aire est égale à f(x)f(x).

A(x)=?f(x)A'(x)\stackrel{?}{=}f(x)

Pour commencer, il est bien de se rappeler ce qu'est la dérivée de la fonction A(x)A(x).

Rappel

La dérivée de la fonction A(x)A(x) correspond à la limite lorsque hh tend vers 00 de A(x+h)A(x)h\frac{A(x+h)-A(x)}{h}.

A(x)=limh0A(x+h)A(x)hA'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}

Étant donné que A(x)A(x) est définie par une propriété géométrique, nous nous aiderons d'un dessin. Sur notre dessin, nous supposons la fonction positive et nous représentons, pour des raisons de clarté, un point xx assez éloigné de x+hx+h, mais il faut savoir qu'ils sont en réalité très proches, puisque hh est très petit (il tend vers 00).

TheoFond

Par définition, A(x+h)A(x+h) est égale à l'intégrale de ff entre aa et x+hx+h. Par la propriété de l'intégrale (voir Relation de Chasles), cette première intégrale est égale à la somme de l'intégrale de ff entre aa et xx et celle entre xx et x+hx+h.

A(x+h)=ax+hf(t)dt=axf(t)dt+xx+hf(t)dt\begin{aligned} A(x+h)&=\int_a^{x+h}f(t)\text{d}t\\ &=\color{red}\int_a^{x}f(t)\text{d}t\color{none}+\color{royalblue}\int_x^{x+h}f(t)\text{d}t \end{aligned}

On voit donc que l'aire entre aa et x+hx+h est égale à la somme de l'aire entre aa et xx qui est égale à A(x)A(x) (en rouge) et la petite intégrale qui correspond à l'aire hachurée en bleu.

TheoFond

Lorsque hh est petit, on peut approximer cette intégrale par l'aire d'un petit rectangle qui a une hauteur f(x)f(x) et une largeur hh. Cette intégrale s'estime donc par la multiplication de la hauteur f(x)f(x) et de la largeur hh.

xx+hf(t)dtf(x)h\color{royalblue}\int_x^{x+h}f(t)\text{d}t\color{none}\approx f(x)\cdot h

TheoFond

On peut donc récrire A(x+h)A(x+h) comme étant

A(x+h)A(x)+f(x)hA(x+h)\approx\color{red}A(x)\color{none}+\color{royalblue}f(x)\cdot h

Ainsi,

A(x+h)A(x)hf(x)\frac{A(x+h)-A(x)}{h}\approx f(x)
Démonstration rigoureuse

On commence par fixer un xx strictement entre ]a;b[]a;b[. Puis, on essaye de démontrer que la dérivée de AA en ce point xx existe et qu'elle vaut f(x)f(x).

Soit x]a;b[A(x)=limh0A(x+h)A(x)h\begin {aligned} &\text{Soit }x\in]a;b[\\ &A'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{A(x+h)- A(x)}{h} \end{aligned}

Rappel

La dérivée de AA est la limite du rapport de Newton lorsque hh tend vers 00.

Afin de fixer les idées, nous prendrons d'abord un hh qui tend vers 00 par la droite, à savoir h0+h\rightarrow0^+. Nous considérerons ensuite le cas contraire. La différence de A(x+h)A(x+h) moins A(x)A(x) correspond, comme nous venons de le voir, à l'intégrale entre xx et x+hx+h de ff.

A(x+h)A(x)=xx+hf(t)dtA(x+h)-A(x)=\int_x^{x+h}f(t)\text{d}t

Sur ce petit intervalle entre xx et x+hx+h nous utiliserons le théorème de la moyenne (voir Théorème de la moyenne). Conformément à ce théorème, il existe un point cc quelque part entre xx et x+hx+h, tel que cette intégrale est égale à la valeur de la fonction en ce point cc multipliée par la largeur de l'intervalle qui est hh.

c]x;x+h[ tel que A(x+h)A(x)=xx+hf(t)dt=f(c)h\begin{aligned} &\exist c\in ]x;x+h[\text{ tel que }\\ &A(x+h)-A(x)=\int_x^{x+h}f(t)\text{d}t=f(c)\cdot h \end{aligned}

TheoFond

On peut donc maintenant récrire

A(x+h)A(x)h=f(c)\frac{A(x+h)- A(x)}{h}=f(c)

Il est important de noter ici que le cc dépend de xx et de hh car il se trouve quelque part entre les deux.

Par conséquent, si hh tend vers 00 par la droite, cc doit nécessairement tendre vers xx par la droite.

Si h0+, alors cx+\begin{aligned} &\text{Si }h\rightarrow0^+, \text{ alors }\\ &c\rightarrow x^+ \end{aligned}

Donc, si l'on considère la limite du rapport de Newton lorsque hh tend vers 00 par la droite, on peut la remplacer par la limite de f(c)f(c) lorsque hh tend vers 00 par la droite qui peut elle-même être remplacée par la limite de f(c)f(c) lorsque cc tend vers xx par la droite qui est égal à f(x)f(x) puisque l'on a supposé la fonction continue en xx.

limh0+A(x+h)A(x)h=limh0+f(c)=limcx+f(c)=f(x)\lim_{h\rightarrow0^+}\frac{A(x+h)- A(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^+}f(c)=\lim_{c\rightarrow x^+}f(c)=f(x)

De la même façon, on peut montrer que la limite lorsque hh tend vers 00 par la gauche est égale à f(x)f(x). On a donc bien démontré que la dérivée de AA existe et qu'elle est égale à ff.

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