Début de l'étude des transformations linéaires T:RnRmT:\R^n\rightarrow\R^m

Lemme

Soient V,VV,V' deux EV, T:VVT:V\rightarrow V' linéaire. Alors TT est injective     Ker(T)={0}\iff \mathrm{Ker}(T)=\{0\}

Preuve

Cas V=Rn,V=RmV=\R^n, V'=\R^m

Théorème

Soit A(m×n),T:RnRmA(m\times n), \, T : \R^n \rightarrow\R^m définie par T(x)AxT(\vec{x})\coloneqq A\vec{x} (linéaire).

  1. TT est injective     \iff les colonnes de AA sont linéairement indépendantes.

  2. TT est surjecive     \iff les colonnes de AA engendrent tout Rm\R^m.

Preuve
  1. T est injective    Ker(A)={0}    l’unique solution de Ax=0 est x=0 (sol. triviale)    x1a1++xnan=0 ssi x1==xn=0    les colonnes de A sont lineˊairement indeˊpendants.\begin{aligned} T\text{ est injective}&\iff\mathrm{Ker}(A) = \{\textcolor{red}{\vec{0}}\}\\ &\iff \text{l'unique solution de }A\vec{x} =\textcolor{blue}{\vec{0}}\text{ est }\vec{x} = \textcolor{red}{\vec{0}}\text{ (sol. triviale)}\\ &\iff x_1\vec{a}_1 + \ldots+x_n\vec{a}_n = \textcolor{blue}{\vec{0}} \text{ ssi }x_1=\ldots=x_n = 0\\ &\iff \text{les colonnes de }A\text{ sont linéairement indépendants.} \end{aligned}

    Note :

    Le "0\textcolor{red}{\vec{0}}" dans Rn\R^n

    Le "0\textcolor{blue}{\vec{0}}" dans Rm\R^m

    A=[a1,,an]A = [\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n]

    "ssi" signifie "si et seulement si "

  2. T est surjective    tout yRm posseˋde au moins une preˊimage xRn,y=Ax=x1a1++xnan    les colonnes de A engendrent tout Rm\begin{aligned} \begin{aligned} T \text{ est surjective} &\iff \text{tout } \vec{y} \in \R^m \text{ possède au moins une préimage }\\ & \qquad \quad \vec{x}\in\R^n, \, \vec{y} = A\vec{x} = x_1\vec{a}_1+ \ldots+x_n\vec{a}_n\\ &\iff \text{les colonnes de } A \text{ engendrent tout }\R^m \end{aligned}&\\ & \square \end{aligned}

Lemme

Soit T:RnRmT:\R^n\rightarrow\R^m linéaire. Alors \exists une A(m×n)A(m\times n) telle que

T(x)=Ax.T(\vec{x}) = A\vec{x}.

En fait, AA est donnée par A=[a1,,an]A = [\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n], où

ak=T(ek),\vec{a}_k =T(\vec{e}_k),

ek\vec{e}_k est le keˋme^{\text{ème}} vecteur de la base canonique.

Preuve

Soit T:RnRmT: \R^{n}\rightarrow \R^m linéaire. Soit xRn\vec{x}\in\R^n

T(x)=T(x1e1++xnen)=x1T(e1)Rm++xnT(en)RmAx, ouˋ A=[T(e1)T(en)]\begin{array}{lll} T(\vec{x})&=T(x_1\vec{e}_1+\ldots+x_n\vec{e}_n)&\\ &=x_1\underbrace{T(\vec{e}_1)}_{\in\R^m}+\ldots+x_n \underbrace{T(\vec{e}_n)}_{\in\R^m}&\\ &\equiv A\vec{x}\text{, où }A = [T(\vec{e}_1)\cdots T(\vec{e}_n)]&\\ & & \square \end{array}

Définition

AA est la matrice associée à TT "canoniquement" parce qu'on a décrit xRn\vec{x}\in\R^n à l'aide de Bcan=(e1,en)B_{can} = (\vec{e}_1,\ldots\vec{e}_n) !

Exemple
T:R2R3x=(x1x2)T(x)=(3x1+x25x3+7x2x1+3x2)injective ?surjective ?\begin{aligned} T:&\,\R^2\rightarrow\R^3&\\ &\vec{x} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\mapsto T(\vec{x}) = \begin{pmatrix}3x_1 + x_2\\5x_3 + 7x_2\\x_1+3x_2\end{pmatrix}& \begin{array}{l}\text{injective ?}\\ \text{surjective ?}\end{array} \end{aligned}

Fait : TT est linéaire.

Par le lemme, A(3×2)\exists A (3\times 2) tel que T(x)=AxT(\vec{x}) = A\vec{x}, donnée par A=[T(e1)T(e2)]A = [T(\vec{e}_1 ) \,T(\vec{e}_2)]. Don on peut répondre à ces questions en regardant les colonnes de AA.

Or T(e1)=T((10))=(351)T(e2)=T((01))=(173)}    A=(315713)\left.\begin{array}{r} \text{Or }T(\vec{e}_1) = T(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}3\\5\\1\end{pmatrix}\\ T(\vec{e}_2) = T(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1\\7\\3\end{pmatrix} \end{array}\right\}\implies A = \begin{pmatrix} 3&1\\5&7\\1&3 \end{pmatrix}

Par le lemme précédent, TT est injective car les colonnes de AA sont linéairement indépendantes, mais n'est pas surjective car les colonnes de AA n'engendrent pas R3\R^3 (car elle ne sont que 2 !)

Exemples de transformations linéaires du plan dans lui-même

T:R2R2,lineˊaireT : \R^2 \rightarrow \R^2, \,\text{linéaire}

Homothétie :

T(v)λv,λRT(\vec{v})\coloneqq\lambda\vec{v},\,\lambda\in\R fixé, appelé le rapport.

Réflexion par rapport à OxOx

T(x)=T(x1x2)(x1x2)T(\vec{x}) = T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\coloneqq\begin{pmatrix}x_1\\-x_2\end{pmatrix} Image aˋ mettre\color{red}\text{Image à mettre}

Réflexion par OxOx

Matrice dans une base :(abcd)les colonnes sont les images des vecteurs de bases.\text{Matrice dans une base :}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}\text{les colonnes sont les images des vecteurs de bases.}

Image aˋ mettre p.86\color{red}\text{Image à mettre p.86}

Matrice d'une application relativement aux bases B\mathcal{B} et B\mathcal{B}'

Soit B=(b1,,bn)\mathcal{B} = (b_1,\ldots,b_n) la base de l'EV VV et B=(b1,bm)\mathcal{B}' = (b_1',\ldots b_m') la base de l'EV VV'. Ainsi, vV,v1,,vn\forall v \in V, \,\exists \,v_1,\ldots,v_n tels que v=v1b1++vnbnv=v_1b_1+\ldots+v_nb_n et vV,,,v1,,vn\forall v' \in V', ,\exists ,v_1',\ldots,v_n' tels que v=v1b1++vmbmv'=v_1'b_1'+\ldots+v_m'b_m'. C'est-à-dire

[vB]=(v1vn)[vB]=(v1vm)[v_{\mathcal{B}}] = \begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}\qquad [v_{\mathcal{B'}}'] = \begin{pmatrix}v_1'\\\vdots\\v_m'\end{pmatrix}

Soit TT une application linéaire :

T:VVvT(v)\begin{array}{rlrl} T : &V&\longrightarrow &V'\\ &v & \longmapsto &T(v)\\ \end{array}

Ainsi

v=v1b++vnbnT(v1b1++vnbn)v1T(b1)V++vnT(bn)V\begin{array}{lllll} v = v_1b_+\ldots+v_nb_n\longmapsto&T(v_1b_1&+\ldots+v_nb_n)\\ &v_1\underbrace{T(b_1)}_{\in V'}&+\ldots+v_n\underbrace{T(b_n)}_{\in V'} \end{array}

Note : T(b1),,T(bn)T(b_1),\ldots,T(b_n) doivent s'exprimer dans la base B\mathcal{B}': [T(b1)]B,,[T(bn)]B[T(b_1)]_{\mathcal{B}'},\ldots,[T(b_n)]_{\mathcal{B}'}.

Donc, du point de vue des composantes :

[v]B=(v1vn)Rn([T(b1)]BRm[T(bn)]B)Rmmatrice (m×n) de T rel. aˋ B et B(v1vn)[v]_{\mathcal{B}}= \underbrace{\begin{pmatrix} v_1\\\vdots\\v_n \end{pmatrix}}_{\in\R^n}\mapsto\overbrace{ \underbrace{\left([T(b_1)]_{\mathcal{B}'}\right.}_{\in\R^m}\cdots \underbrace{\left.[T(b_n)]_{\mathcal{B}'} \right)}_{\in\R^m}}^{\text{matrice }(m\times n) \text{ de T rel. à }\mathcal{B}\text{ et } \mathcal{B}'}\begin{pmatrix} v_1\\\vdots\\ v_n\end{pmatrix}

Rotation d'angle θ\theta autour de l'origine

Image aˋ mettre p.88\color{red}\text{Image à mettre p.88}

Exprimons la matrice de TT de "can" dans "can".

Image aˋ mettre p.88\color{red}\text{Image à mettre p.88}

T(e1)=cosθe1+sinθe2T(e2)=sinθe1+cosθe2(cosθsinθsinθcosθ)\begin{aligned} T(\vec{e}_1)=& \cos{\theta}\,\vec{e}_1 + \sin{\theta}\,\vec{e}_2\\ T(\vec{e}_2)=& -\sin{\theta}\,\vec{e}_1 + \cos{\theta}\,\vec{e}_2 \end{aligned}\,\rightarrow\,\begin{pmatrix}\cos{\theta}&-\sin{\theta}\\ \sin{\theta}&\cos{\theta}\end{pmatrix}

Projection sur OyOy

Image aˋ mettre p.89\color{red}\text{Image à mettre p.89}