Soient V , V ′ V,V' V , V ′ deux EV, T : V → V ′ T:V\rightarrow V' T : V → V ′ linéaire. Alors T T T est injective ⟺ K e r ( T ) = { 0 } \iff \mathrm{Ker}(T)=\{0\} ⟺ K e r ( T ) = { 0 }
⟹ \implies ⟹ : Soit T T T injective. Soit v ∈ K e r ( T ) v\in\mathrm{Ker}(T) v ∈ K e r ( T ) . Alors T ( v ) = 0 \color{red}T(v)=0 T ( v ) = 0 . Mais on sait que 0 = T ( 0 ) \color{blue}0 = T(0) 0 = T ( 0 ) .
T ( v ) = T ( 0 ) ⇓ T injective v = 0 \begin{aligned} \textcolor{red}{T(v)} &= \textcolor{blue}{T(0)}\\ &\Big\Downarrow T \text{ injective}\\ v & =0 \end{aligned} T ( v ) v = T ( 0 ) ⇓ ‖ ‖ ‖ T injective = 0
⟸ \impliedby ⟸ : Si K e r ( T ) = { 0 } \mathrm{Ker}(T) = \{0\} K e r ( T ) = { 0 } . Soient v 1 , v 2 ∈ V v_1,v_2\in V v 1 , v 2 ∈ V tel que
T ( v 1 ) = T ( v 2 ) ↓ T lin e ˊ aire T ( v 1 − v 2 ) = 0 Donc v 1 − v 2 ∈ K e r ( T ) . Mais comme K e r ( T ) = 0 ⟹ v 1 − v 2 = 0 ⟹ v 1 = v 2 Donc T es injective. □ \begin{aligned} T(v_1)&=T(v_2)\\ &\big\downarrow T \text{ linéaire}\\ T(v_1-v_2)&=0 \end{aligned}\\ \text{} \\ \begin{array}{lll} &\text{Donc $v_1-v_2\in\mathrm{Ker}(T)$.}&\text{Mais comme $\mathrm{Ker}(T) ={0}$}&\\ & &\begin{aligned} &\implies v_1 -v_2=0\\ &\implies v_1 = v_2 \end{aligned}&\\ &\text{Donc $T$ es injective.}& &\\ & & &\square \end{array} T ( v 1 ) T ( v 1 − v 2 ) = T ( v 2 ) ↓ ⏐ ⏐ T lin e ˊ aire = 0 Donc v 1 − v 2 ∈ K e r ( T ) . Donc T es injective. Mais comme K e r ( T ) = 0 ⟹ v 1 − v 2 = 0 ⟹ v 1 = v 2 □
Soit A ( m × n ) , T : R n → R m A(m\times n), \, T : \R^n \rightarrow\R^m A ( m × n ) , T : R n → R m définie par T ( x ⃗ ) ≔ A x ⃗ T(\vec{x})\coloneqq A\vec{x} T ( x ) : = A x (linéaire).
T T T est injective ⟺ \iff ⟺ les colonnes de A A A sont linéairement indépendantes.
T T T est surjecive ⟺ \iff ⟺ les colonnes de A A A engendrent tout R m \R^m R m .
T est injective ⟺ K e r ( A ) = { 0 ⃗ } ⟺ l’unique solution de A x ⃗ = 0 ⃗ est x ⃗ = 0 ⃗ (sol. triviale) ⟺ x 1 a ⃗ 1 + … + x n a ⃗ n = 0 ⃗ ssi x 1 = … = x n = 0 ⟺ les colonnes de A sont lin e ˊ airement ind e ˊ pendants. \begin{aligned} T\text{ est injective}&\iff\mathrm{Ker}(A) = \{\textcolor{red}{\vec{0}}\}\\ &\iff \text{l'unique solution de }A\vec{x} =\textcolor{blue}{\vec{0}}\text{ est }\vec{x} = \textcolor{red}{\vec{0}}\text{ (sol. triviale)}\\ &\iff x_1\vec{a}_1 + \ldots+x_n\vec{a}_n = \textcolor{blue}{\vec{0}} \text{ ssi }x_1=\ldots=x_n = 0\\ &\iff \text{les colonnes de }A\text{ sont linéairement indépendants.} \end{aligned} T est injective ⟺ K e r ( A ) = { 0 } ⟺ l’unique solution de A x = 0 est x = 0 (sol. triviale) ⟺ x 1 a 1 + … + x n a n = 0 ssi x 1 = … = x n = 0 ⟺ les colonnes de A sont lin e ˊ airement ind e ˊ pendants.
Note :
Le "0 ⃗ \textcolor{red}{\vec{0}} 0 " dans R n \R^n R n
Le "0 ⃗ \textcolor{blue}{\vec{0}} 0 " dans R m \R^m R m
A = [ a ⃗ 1 , … , a ⃗ n ] A = [\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n] A = [ a 1 , … , a n ]
"ssi" signifie "si et seulement si "
T est surjective ⟺ tout y ⃗ ∈ R m poss e ˋ de au moins une pr e ˊ image x ⃗ ∈ R n , y ⃗ = A x ⃗ = x 1 a ⃗ 1 + … + x n a ⃗ n ⟺ les colonnes de A engendrent tout R m □ \begin{aligned} \begin{aligned} T \text{ est surjective} &\iff \text{tout } \vec{y} \in \R^m \text{ possède au moins une préimage }\\ & \qquad \quad \vec{x}\in\R^n, \, \vec{y} = A\vec{x} = x_1\vec{a}_1+ \ldots+x_n\vec{a}_n\\ &\iff \text{les colonnes de } A \text{ engendrent tout }\R^m \end{aligned}&\\ & \square \end{aligned} T est surjective ⟺ tout y ∈ R m poss e ˋ de au moins une pr e ˊ image x ∈ R n , y = A x = x 1 a 1 + … + x n a n ⟺ les colonnes de A engendrent tout R m □
Soit T : R n → R m T:\R^n\rightarrow\R^m T : R n → R m linéaire . Alors ∃ \exists ∃ une A ( m × n ) A(m\times n) A ( m × n ) telle que
T ( x ⃗ ) = A x ⃗ . T(\vec{x}) = A\vec{x}. T ( x ) = A x .
En fait, A A A est donnée par A = [ a ⃗ 1 , … , a ⃗ n ] A = [\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n] A = [ a 1 , … , a n ] , où
a ⃗ k = T ( e ⃗ k ) , \vec{a}_k =T(\vec{e}_k), a k = T ( e k ) ,
où e ⃗ k \vec{e}_k e k est le ke ˋ me ^{\text{ème}} e ˋ me vecteur de la base canonique.
Soit T : R n → R m T: \R^{n}\rightarrow \R^m T : R n → R m linéaire. Soit x ⃗ ∈ R n \vec{x}\in\R^n x ∈ R n
T ( x ⃗ ) = T ( x 1 e ⃗ 1 + … + x n e ⃗ n ) = x 1 T ( e ⃗ 1 ) ⏟ ∈ R m + … + x n T ( e ⃗ n ) ⏟ ∈ R m ≡ A x ⃗ , o u ˋ A = [ T ( e ⃗ 1 ) ⋯ T ( e ⃗ n ) ] □ \begin{array}{lll} T(\vec{x})&=T(x_1\vec{e}_1+\ldots+x_n\vec{e}_n)&\\ &=x_1\underbrace{T(\vec{e}_1)}_{\in\R^m}+\ldots+x_n \underbrace{T(\vec{e}_n)}_{\in\R^m}&\\ &\equiv A\vec{x}\text{, où }A = [T(\vec{e}_1)\cdots T(\vec{e}_n)]&\\ & & \square \end{array} T ( x ) = T ( x 1 e 1 + … + x n e n ) = x 1 ∈ R m T ( e 1 ) + … + x n ∈ R m T ( e n ) ≡ A x , o u ˋ A = [ T ( e 1 ) ⋯ T ( e n ) ] □
A A A est la matrice associée à T T T "canoniquement" parce qu'on a décrit x ⃗ ∈ R n \vec{x}\in\R^n x ∈ R n à l'aide de B c a n = ( e ⃗ 1 , … e ⃗ n ) B_{can} = (\vec{e}_1,\ldots\vec{e}_n) B c a n = ( e 1 , … e n ) !
T : R 2 → R 3 x ⃗ = ( x 1 x 2 ) ↦ T ( x ⃗ ) = ( 3 x 1 + x 2 5 x 3 + 7 x 2 x 1 + 3 x 2 ) injective ? surjective ? \begin{aligned} T:&\,\R^2\rightarrow\R^3&\\ &\vec{x} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\mapsto T(\vec{x}) = \begin{pmatrix}3x_1 + x_2\\5x_3 + 7x_2\\x_1+3x_2\end{pmatrix}& \begin{array}{l}\text{injective ?}\\ \text{surjective ?}\end{array} \end{aligned} T : R 2 → R 3 x = ( x 1 x 2 ) ↦ T ( x ) = ⎝ ⎜ ⎛ 3 x 1 + x 2 5 x 3 + 7 x 2 x 1 + 3 x 2 ⎠ ⎟ ⎞ injective ? surjective ?
Fait : T T T est linéaire.
Par le lemme, ∃ A ( 3 × 2 ) \exists A (3\times 2) ∃ A ( 3 × 2 ) tel que T ( x ⃗ ) = A x ⃗ T(\vec{x}) = A\vec{x} T ( x ) = A x , donnée par A = [ T ( e ⃗ 1 ) T ( e ⃗ 2 ) ] A = [T(\vec{e}_1 ) \,T(\vec{e}_2)] A = [ T ( e 1 ) T ( e 2 ) ] . Don on peut répondre à ces questions en regardant les colonnes de A A A .
Or T ( e ⃗ 1 ) = T ( ( 1 0 ) ) = ( 3 5 1 ) T ( e ⃗ 2 ) = T ( ( 0 1 ) ) = ( 1 7 3 ) } ⟹ A = ( 3 1 5 7 1 3 ) \left.\begin{array}{r} \text{Or }T(\vec{e}_1) = T(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}3\\5\\1\end{pmatrix}\\ T(\vec{e}_2) = T(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1\\7\\3\end{pmatrix} \end{array}\right\}\implies A = \begin{pmatrix} 3&1\\5&7\\1&3 \end{pmatrix} Or T ( e 1 ) = T ( ( 1 0 ) ) = ⎝ ⎜ ⎛ 3 5 1 ⎠ ⎟ ⎞ T ( e 2 ) = T ( ( 0 1 ) ) = ⎝ ⎜ ⎛ 1 7 3 ⎠ ⎟ ⎞ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⟹ A = ⎝ ⎜ ⎛ 3 5 1 1 7 3 ⎠ ⎟ ⎞
Par le lemme précédent, T T T est injective car les colonnes de A A A sont linéairement indépendantes, mais n'est pas surjective car les colonnes de A A A n'engendrent pas R 3 \R^3 R 3 (car elle ne sont que 2 !)
T : R 2 → R 2 , lin e ˊ aire T : \R^2 \rightarrow \R^2, \,\text{linéaire} T : R 2 → R 2 , lin e ˊ aire
T ( v ⃗ ) ≔ λ v ⃗ , λ ∈ R T(\vec{v})\coloneqq\lambda\vec{v},\,\lambda\in\R T ( v ) : = λ v , λ ∈ R fixé, appelé le rapport .
T T T injective ? Soient v ⃗ 1 , v ⃗ 2 \vec{v}_1,\vec{v}_2 v 1 , v 2 tels que
T ( v ⃗ 1 ) = T ( v ⃗ 2 ) ⇕ λ ( v ⃗ 1 − v ⃗ 2 ) = 0 ⃗ T(\vec{v}_1) = T(\vec{v}_2)\\ \Updownarrow\\ \lambda(\vec{v}_1-\vec{v}_2)=\vec{0} T ( v 1 ) = T ( v 2 ) ⇕ λ ( v 1 − v 2 ) = 0
Si λ ≠ 0 \lambda \not = 0 λ = 0 , alors v ⃗ 1 = v ⃗ 2 ⟹ T \vec{v}_1 = \vec{v}_2\implies T v 1 = v 2 ⟹ T est injective.
$\lambda = 0$, $T$ n'est pas injective.
T surjective ? oui si λ ≠ 0 non si λ = 0 \begin{array}{rl} T\text{ surjective ?}&\text{oui si }\lambda \not = 0\\ & \text{non si }\lambda = 0 \end{array} T surjective ? oui si λ = 0 non si λ = 0
Matrice ? A = [ T ( e ⃗ 1 ) T ( e ⃗ 2 ) ] A = [T(\vec{e}_1) \, T(\vec{e}_2)] A = [ T ( e 1 ) T ( e 2 ) ]
T ( e ⃗ 1 ) = λ e ⃗ 1 = ( λ 0 ) T ( e ⃗ 2 ) = λ e ⃗ 2 = ( 0 λ ) ⟹ A = ( λ 0 0 λ ) { T est injective. ⟺ Les colonnes de A sont lin. ind e ˊ p. ⟺ λ ≠ 0 T est surjective. ⟺ Les colonnes de A engendrent R 2 . ⟺ λ ≠ 0 T(\vec{e}_1) = \lambda\vec{e}_1 = \begin{pmatrix}\lambda\\0\end{pmatrix}\\ T(\vec{e}_2) = \lambda\vec{e}_2 = \begin{pmatrix}0\\ \lambda\end{pmatrix}\\ \implies A = \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 &\lambda\end{pmatrix}\\ \begin{cases} T\text{ est injective.}\iff\text{Les colonnes de $A$ sont lin. indép.}\iff\lambda\not = 0\\ T\text{ est surjective.}\iff\text{Les colonnes de $A$ engendrent $\R^2$.} \iff\lambda \not = 0 \end{cases} T ( e 1 ) = λ e 1 = ( λ 0 ) T ( e 2 ) = λ e 2 = ( 0 λ ) ⟹ A = ( λ 0 0 λ ) { T est injective. ⟺ Les colonnes de A sont lin. ind e ˊ p. ⟺ λ = 0 T est surjective. ⟺ Les colonnes de A engendrent R 2 . ⟺ λ = 0
T ( x ⃗ ) = T ( x 1 x 2 ) ≔ ( x 1 − x 2 ) T(\vec{x}) = T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\coloneqq\begin{pmatrix}x_1\\-x_2\end{pmatrix} T ( x ) = T ( x 1 x 2 ) : = ( x 1 − x 2 ) Image a ˋ mettre \color{red}\text{Image à mettre} Image a ˋ mettre
T T T injective ? oui
T T T surjective ? oui
Matrice ?
T ( e ⃗ 1 ) = T ( 1 0 ) = ( 1 0 ) = e ⃗ 1 T ( e ⃗ 2 ) = T ( 0 1 ) = ( 0 − 1 ) = − e ⃗ 2 ⟹ A = ( 1 0 0 − 1 ) { T est injective. ⟺ Les colonnes de A sont lin. ind e ˊ p. T est surjective. ⟺ Les colonnes de A engendrent R 2 . \begin{array}{llll} T(\vec{e}_1) &= T\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} &= \vec{e}_1\\ T(\vec{e}_2) &= T\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix} &= -\vec{e}_2\end{array}\\ \implies A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\\ \begin{cases} T\text{ est injective.}\iff\text{Les colonnes de $A$ sont lin. indép.}\\ T\text{ est surjective.}\iff\text{Les colonnes de $A$ engendrent $\R^2$.} \end{cases} T ( e 1 ) T ( e 2 ) = T ( 1 0 ) = T ( 0 1 ) = ( 1 0 ) = ( 0 − 1 ) = e 1 = − e 2 ⟹ A = ( 1 0 0 − 1 ) { T est injective. ⟺ Les colonnes de A sont lin. ind e ˊ p. T est surjective. ⟺ Les colonnes de A engendrent R 2 .
Matrice dans une base : ( a b c d ) les colonnes sont les images des vecteurs de bases. \text{Matrice dans une base :}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}\text{les colonnes sont les images des vecteurs de bases.} Matrice dans une base : ( a c b d ) les colonnes sont les images des vecteurs de bases.
Image a ˋ mettre p.86 \color{red}\text{Image à mettre p.86} Image a ˋ mettre p.86
Cousin 1 : "base canonique"
Image a ˋ mettre p.86 \color{red}\text{Image à mettre p.86} Image a ˋ mettre p.86
T ( e ⃗ 1 ) = e ⃗ 1 = 1 e ⃗ 1 + 0 e ⃗ 2 → [ T ( e ⃗ 1 ) ] c a n = ( 1 0 ) T ( e ⃗ 2 ) = e ⃗ 2 = 0 e ⃗ 1 − 1 e ⃗ 2 → [ T ( e ⃗ 2 ) ] c a n = ( 0 − 1 ) → matrice : ( 1 0 0 − 1 ) [ x ⃗ ] c a n = ( x 1 x 2 ) ↦ T ( x ⃗ ) = ( 1 0 0 − 1 ) ( x 1 x 2 ) \begin{aligned} &T(\vec{e}_1) = \vec{e}_1 = \textcolor{blue}{1}\vec{e}_1 + \textcolor{blue}{0}\vec{e}_2\rightarrow[T(\vec{e}_1)]_{\mathrm{can}} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\ &T(\vec{e}_2) = \vec{e}_2 = \textcolor{orange}{0}\vec{e}_1 \textcolor{orange}{-1}\vec{e}_2\rightarrow[T(\vec{e}_2)]_{\mathrm{can}} = \begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix} \end{aligned}\\ \rightarrow \text{matrice : }\begin{pmatrix} \textcolor{blue}{1}& \textcolor{orange}{0}\\ \textcolor{blue}{0}&\textcolor{orange}{-1} \end{pmatrix}\\ [\vec{x}]_{\mathrm{can}} =\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\mapsto T(\vec{x}) = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} T ( e 1 ) = e 1 = 1 e 1 + 0 e 2 → [ T ( e 1 ) ] c a n = ( 1 0 ) T ( e 2 ) = e 2 = 0 e 1 − 1 e 2 → [ T ( e 2 ) ] c a n = ( 0 − 1 ) → matrice : ( 1 0 0 − 1 ) [ x ] c a n = ( x 1 x 2 ) ↦ T ( x ) = ( 1 0 0 − 1 ) ( x 1 x 2 )
Cousin 2 : B = ( b ⃗ 1 , b ⃗ 2 ) \mathcal{B} = (\vec{b}_1,\vec{b}_2) B = ( b 1 , b 2 )
Image a ˋ mettre p.86 \color{red}\text{Image à mettre p.86} Image a ˋ mettre p.86
T ( b ⃗ 1 ) = b ⃗ 1 = 1 b ⃗ 1 + 0 b ⃗ 2 [ T ( b ⃗ 1 ) ] B = ( 1 0 ) T ( b ⃗ 1 ) = 2 b ⃗ 1 − 1 b ⃗ 2 [ T ( b ⃗ 2 ) ] B = ( 2 − 1 ) matrice de T dans B : ( 1 2 0 − 1 ) [ x ⃗ ] B = ( x 1 x 2 ) ↦ T ( x ⃗ ) = ( 1 2 0 − 1 ) ( x 1 x 2 ) \begin{array}{ll} T(\vec{b}_1) = \vec{b}_1 = \textcolor{blue}{1}\vec{b}_1 + \textcolor{blue}{0}\vec{b}_2&[T(\vec{b}_1)]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}\\ T(\vec{b}_1) = \textcolor{orange}{2}\vec{b}_1 \textcolor{orange}{-1}\vec{b}_2&[T(\vec{b}_2)]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2\\-1\end{pmatrix} \end{array}\\ \text{matrice de }T\text{ dans }\mathcal{B} : \begin{pmatrix} \textcolor{blue}{1}&\textcolor{orange}{2}\\ \textcolor{blue}{0}&\textcolor{orange}{-1} \end{pmatrix}\\ [\vec{x}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \mapsto T(\vec{x}) = \begin{pmatrix}1 & 2\\0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} T ( b 1 ) = b 1 = 1 b 1 + 0 b 2 T ( b 1 ) = 2 b 1 − 1 b 2 [ T ( b 1 ) ] B = ( 1 0 ) [ T ( b 2 ) ] B = ( 2 − 1 ) matrice de T dans B : ( 1 0 2 − 1 ) [ x ] B = ( x 1 x 2 ) ↦ T ( x ) = ( 1 0 2 − 1 ) ( x 1 x 2 )
Exemple :
Image a ˋ mettre p.87 \color{red}\text{Image à mettre p.87} Image a ˋ mettre p.87
Si [ x ⃗ ] B = ( 1 1 ) , alors T ( x ⃗ ) = ( 1 2 0 − 1 ) ( 1 1 ) = ( 3 − 1 ) = 3 b ⃗ 1 − b ⃗ 2 \text{Si }[\vec{x}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\text{, alors }T(\vec{x})=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix} = \textcolor{blue}{3}\vec{b}_1\textcolor{blue}{-}\vec{b}_2 Si [ x ] B = ( 1 1 ) , alors T ( x ) = ( 1 0 2 − 1 ) ( 1 1 ) = ( 3 − 1 ) = 3 b 1 − b 2
Soit B = ( b 1 , … , b n ) \mathcal{B} = (b_1,\ldots,b_n) B = ( b 1 , … , b n ) la base de l'EV V V V et B ′ = ( b 1 ′ , … b m ′ ) \mathcal{B}' = (b_1',\ldots b_m') B ′ = ( b 1 ′ , … b m ′ ) la base de l'EV V ′ V' V ′ . Ainsi, ∀ v ∈ V , ∃ v 1 , … , v n \forall v \in V, \,\exists \,v_1,\ldots,v_n ∀ v ∈ V , ∃ v 1 , … , v n tels que v = v 1 b 1 + … + v n b n v=v_1b_1+\ldots+v_nb_n v = v 1 b 1 + … + v n b n et ∀ v ′ ∈ V ′ , , ∃ , v 1 ′ , … , v n ′ \forall v' \in V', ,\exists ,v_1',\ldots,v_n' ∀ v ′ ∈ V ′ , , ∃ , v 1 ′ , … , v n ′ tels que v ′ = v 1 ′ b 1 ′ + … + v m ′ b m ′ v'=v_1'b_1'+\ldots+v_m'b_m' v ′ = v 1 ′ b 1 ′ + … + v m ′ b m ′ . C'est-à-dire
[ v B ] = ( v 1 ⋮ v n ) [ v B ′ ′ ] = ( v 1 ′ ⋮ v m ′ ) [v_{\mathcal{B}}] = \begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}\qquad [v_{\mathcal{B'}}'] = \begin{pmatrix}v_1'\\\vdots\\v_m'\end{pmatrix} [ v B ] = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ v 1 ⋮ v n ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ [ v B ′ ′ ] = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ v 1 ′ ⋮ v m ′ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞
Soit T T T une application linéaire :
T : V ⟶ V ′ v ⟼ T ( v ) \begin{array}{rlrl} T : &V&\longrightarrow &V'\\ &v & \longmapsto &T(v)\\ \end{array} T : V v ⟶ ⟼ V ′ T ( v )
Ainsi
v = v 1 b + … + v n b n ⟼ T ( v 1 b 1 + … + v n b n ) v 1 T ( b 1 ) ⏟ ∈ V ′ + … + v n T ( b n ) ⏟ ∈ V ′ \begin{array}{lllll} v = v_1b_+\ldots+v_nb_n\longmapsto&T(v_1b_1&+\ldots+v_nb_n)\\ &v_1\underbrace{T(b_1)}_{\in V'}&+\ldots+v_n\underbrace{T(b_n)}_{\in V'} \end{array} v = v 1 b + … + v n b n ⟼ T ( v 1 b 1 v 1 ∈ V ′ T ( b 1 ) + … + v n b n ) + … + v n ∈ V ′ T ( b n )
Note : T ( b 1 ) , … , T ( b n ) T(b_1),\ldots,T(b_n) T ( b 1 ) , … , T ( b n ) doivent s'exprimer dans la base B ′ \mathcal{B}' B ′ : [ T ( b 1 ) ] B ′ , … , [ T ( b n ) ] B ′ [T(b_1)]_{\mathcal{B}'},\ldots,[T(b_n)]_{\mathcal{B}'} [ T ( b 1 ) ] B ′ , … , [ T ( b n ) ] B ′ .
Donc, du point de vue des composantes :
[ v ] B = ( v 1 ⋮ v n ) ⏟ ∈ R n ↦ ( [ T ( b 1 ) ] B ′ ⏟ ∈ R m ⋯ [ T ( b n ) ] B ′ ) ⏟ ∈ R m ⏞ matrice ( m × n ) de T rel. a ˋ B et B ′ ( v 1 ⋮ v n ) [v]_{\mathcal{B}}= \underbrace{\begin{pmatrix} v_1\\\vdots\\v_n \end{pmatrix}}_{\in\R^n}\mapsto\overbrace{ \underbrace{\left([T(b_1)]_{\mathcal{B}'}\right.}_{\in\R^m}\cdots \underbrace{\left.[T(b_n)]_{\mathcal{B}'} \right)}_{\in\R^m}}^{\text{matrice }(m\times n) \text{ de T rel. à }\mathcal{B}\text{ et } \mathcal{B}'}\begin{pmatrix} v_1\\\vdots\\ v_n\end{pmatrix} [ v ] B = ∈ R n ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ v 1 ⋮ v n ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ↦ ∈ R m ( [ T ( b 1 ) ] B ′ ⋯ ∈ R m [ T ( b n ) ] B ′ ) matrice ( m × n ) de T rel. a ˋ B et B ′ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ v 1 ⋮ v n ⎠ ⎟ ⎟ ⎞
Image a ˋ mettre p.88 \color{red}\text{Image à mettre p.88} Image a ˋ mettre p.88
Exprimons la matrice de T T T de "can" dans "can".
Image a ˋ mettre p.88 \color{red}\text{Image à mettre p.88} Image a ˋ mettre p.88
T ( e ⃗ 1 ) = cos θ e ⃗ 1 + sin θ e ⃗ 2 T ( e ⃗ 2 ) = − sin θ e ⃗ 1 + cos θ e ⃗ 2 → ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) \begin{aligned} T(\vec{e}_1)=& \cos{\theta}\,\vec{e}_1 + \sin{\theta}\,\vec{e}_2\\ T(\vec{e}_2)=& -\sin{\theta}\,\vec{e}_1 + \cos{\theta}\,\vec{e}_2 \end{aligned}\,\rightarrow\,\begin{pmatrix}\cos{\theta}&-\sin{\theta}\\ \sin{\theta}&\cos{\theta}\end{pmatrix} T ( e 1 ) = T ( e 2 ) = cos θ e 1 + sin θ e 2 − sin θ e 1 + cos θ e 2 → ( cos θ sin θ − sin θ cos θ )
Image a ˋ mettre p.89 \color{red}\text{Image à mettre p.89} Image a ˋ mettre p.89